LeetCode刷题复盘条记—一文搞懂动态规划之115. 差别的子序列题目（动态规

今日主要总结一下动态规划的一道题目，115. 差别的子序列
题目：115. 差别的子序列

Leetcode题目地址
题目描述：
给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，盘算在 s 的子序列中 t 出现的个数。
字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）
题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。
示例 1：
输入：s = “rabbbit”, t = “rabbit”
输出：3
解释：
如下图所示, 有 3 种可以从 s 中得到 “rabbit” 的方案。
rabbbit
rabbbit
rabbbit
示例 2：
输入：s = “babgbag”, t = “bag”
输出：5
解释：
如下图所示, 有 5 种可以从 s 中得到 “bag” 的方案。
babgbag
babgbag
babgbag
babgbag
babgbag
提示：
0 <= s.length, t.length <= 1000
s 和 t 由英文字母组成
本题重难点

这道题目假如不是子序列，而是要求连续序列的，那就可以考虑用KMP。
这道题目相对于72. 编辑距离，简朴了不少，因为本题相当于只有删除操作，不消考虑替换增加之类的。
但相对于刚讲过的动态规划：一文搞懂动态规划之392. 判断子序列题目就有难度了，这道题目双指针法可就做不了了，来看看动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的寄义
  dp[j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[j]。
  
• 确定递推公式
  这一类题目，基本是要分析两种情况
  s[i - 1] 与 t[j - 1]相称
  s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相称
  当s[i - 1] 与 t[j - 1]相称时，dp[j]可以有两部分组成。
  一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。
  一部分是不消s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。
  这里可能有同学不明确了，为什么还要考虑 不消s[i - 1]来匹配，都相同了指定要匹配啊。
  例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不消s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。
  当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。
  所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相称时，dp[j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
  当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相称时，dp[j]只有一部分组成，不消s[i - 1]来匹配，即：dp[i - 1][j]
  所以递推公式为：dp[j] = dp[i - 1][j];
  
• dp数组如何初始化
  从递推公式dp[j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。
  每次当初始化的时间，都要回首一下dp[j]的界说，不要凭感觉初始化。
  dp[0]表示什么呢？
  dp[0] 表示：以i-1为结尾的s可以任意删除元素，出现空字符串的个数。
  那么dp[0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除全部元素，出现空字符串的个数就是1。
  再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以任意删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
  那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也酿成不了t。
  末了就要看一个特别位置了，即：dp[0][0] 应该是多少。
  dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，酿成空字符串t。
  
• 确定遍历顺序
  从递推公式dp[j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[j]都是根据左上方和正上方推出来的。
  

所以遍历的时间一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[j]可以根据之前盘算出来的数值进行盘算。

• 举例推导dp数组
  

   以s：“baegg”，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：

假如写出来的代码怎么改都通过不了，不妨把dp数组打印出来，看一看，是不是这样的。
  C++代码

1. class Solution {
2. public:
3.     int numDistinct(string s, string t) {
4.         vector<vector<uint64_t>>dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1, 0));
5.         for(int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
6.         for (int i = 1; i <= s.size(); i++){
7.             for(int j = 1; j <= t.size(); j++){
8.                 if(s[i - 1] == t[j - 1]){
9.                     dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
10.                 }
11.                 else{
12.                     dp[i][j] = dp[i - 1][j];
13.                 }
14.             }
15.         }
16.         return dp[s.size()][t.size()];
17.     }
18. };

复制代码

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总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，假如某一题目有很多重叠子题目，利用动态规划是最有用的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪婪，贪婪没有状态推导，而是从局部直接选最优的
对于动态规划题目，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才气说把动态规划真的把握了！
   

• 确定dp数组（dp table）以及下标的寄义
  
• 确定递推公式
  
• dp数组如何初始化
  
• 确定遍历顺序
  
• 举例推导dp数组
  

  这道题目假如不是子序列，而是要求连续序列的，那就可以考虑用KMP。
这道题目相对于72. 编辑距离，简朴了不少，因为本题相当于只有删除操作，不消考虑替换增加之类的。
但相对于刚讲过的动态规划：一文搞懂动态规划之392. 判断子序列题目就有难度了，动态规划中依然是利用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才气更清楚的理解题目！
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