【统计至简】【古典概率模子】团结概率、边沿概率、条件概率、全概率

  一副尺度扑克牌有 54 张，包罗 52 张通例牌（13 个点数，每个点数有 4 种花色）和 2 张王（大、小王）。我们从中随机抽取一张牌，界说以下变乱：

• 变乱 A：抽到的牌是红桃
  
• 变乱 B：抽到的牌是 K
  

团结概率

  团结概率团结概率是指两个变乱同时发生的概率，即抽到的牌既是红桃又是 K 的概率。在扑克牌中，既是红桃又是 K 的牌只有 1 张，即红桃 K。以是变乱 A 和变乱 B 的团结概率P(A∩B)P(A \cap B)P(A∩B)为：
P(A∩B)=154P(A \cap B)=\frac{1}{54}P(A∩B)=541​
边沿概率

  边沿概率是只思量一个变乱发生的概率，而不思量另一个变乱的环境。

• 对于变乱 A（抽到红桃），扑克牌中红桃有 13 张，以是变乱 A 的边沿概率P(A)P(A)P(A)为：
  P(A)=1354P(A)=\frac{13}{54}P(A)=5413​
  
• 对于变乱 B（抽到 K），扑克牌中 K 有 4 张，以是变乱 B 的边沿概率P(B)P(B)P(B)为：
  P(B)=454=227P(B)=\frac{4}{54}=\frac{2}{27}P(B)=544​=272​
  

条件概率

  条件概率是在某个变乱已经发生的条件下，另一个变乱发生的概率。

• 在变乱 B（抽到 K）已经发生的条件下，求变乱 A（抽到红桃）的概率，即P(A∣B)P(A|B)P(A∣B)。由于已知抽到的是 K，而 4 张 K 中只有 1 张是红桃 K，以是：
  P(A∣B)=14P(A|B)=\frac{1}{4}P(A∣B)=41​
  
• 在变乱 A（抽到红桃）已经发生的条件下，求变乱 B（抽到 K）的概率，即P(B∣A)P(B|A)P(B∣A)。由于已知抽到的是红桃，而 13 张红桃中只有 1 张是 K，以是：
  P(B∣A)=113P(B|A)=\frac{1}{13}P(B∣A)=131​
  

  根据前面提到的条件概率公式P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​，我们可以验证一下：已知P(A∩B)=154P(A \cap B)=\frac{1}{54}P(A∩B)=541​，P(B)=454P(B)=\frac{4}{54}P(B)=544​，则P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=154454=14P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{54}}{\frac{4}{54}}=\frac{1}{4}P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​=544​541​​=41​符合我们前面盘算的结果。
全概率

  假设一副扑克牌，去掉巨细王共 52 张牌，将其分为两组，此中一组是玄色牌（黑桃和梅花）共 26 张，记为变乱B1B_1B1​；另一组是赤色牌（红桃和方块）共 26 张，记为变乱B2B_2B2​。我们界说变乱A为 “抽到的牌是 K”。
  起首，B1B_1B1​和B2B_2B2​构成了样本空间的一个分别，即B1B_1B1​和B2B_2B2​互斥（一副牌不大概既是玄色又是赤色），且B1∪B2B_1\cup B_2B1​∪B2​是整个样本空间（全部牌不是玄色就是赤色）。已知P(B1)=P(B2)=2652=12P(B_1)=P(B_2)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}P(B1​)=P(B2​)=5226​=21​，即在没有任何其他条件的环境下，抽到玄色牌和赤色牌的概率都是12\frac{1}{2}21​。
  在玄色牌组B1B_1B1​中，K 有 2 张（黑桃 K 和梅花 K），以是在B1B_1B1​发生的条件下，A发生的概率P(A∣B1)=226=113P(A|B_1)=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}P(A∣B1​)=262​=131​。
  在赤色牌组B2B_2B2​中，K 也有 2 张（红桃 K 和方块 K），以是P(A∣B2)=226=113P(A|B_2)=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}P(A∣B2​)=262​=131​。
  根据全概率公式P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(A)=\sum_{i = 1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)P(A)=∑i=1n​P(Bi​)P(A∣Bi​)，这里n=2n = 2n=2，则：
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲P(A)&=P(B_1)P(…
  这与我们直接盘算从 52 张牌中抽到 K 的概率结果是同等的，即452=113\frac{4}{52}=\frac{1}{13}524​=131​，分析全概率公式是公道且有用的。它通过将一个复杂变乱A分解为在差别条件BiB_iBi​下的简朴变乱，然后综合这些简朴变乱的概率来盘算复杂变乱的概率。