分量独立的n维正态随机向量的二次型

内容泉源
应用多元统计分析 北京大学出书社 高惠璇编著

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设 Xi∼N(μi,σ2)X_i\sim N(\mu_i,\sigma^2)Xi​∼N(μi​,σ2)，且相互独立，记
X=[X1⋮Xp]X=\left[\begin{matrix}X_1\\\vdots\\X_p\end{matrix}\right]X=​X1​⋮Xp​​​
则 X∼Np(μ,σ2I)X\sim N_p(\mu,\sigma^2I)X∼Np​(μ,σ2I)，此中 μ=(μ1,μ2,⋯ ,μp)′\mu=(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_p)'μ=(μ1​,μ2​,⋯,μp​)′
结论1

当 μi=0,σ2=1\mu_i=0,\sigma^2=1μi​=0,σ2=1 时，有
ξ=X′X=∑i=1nXi2∼χ2(n)\xi=X'X=\sum^n_{i=1}X^2_i\sim\chi^2(n)ξ=X′X=i=1∑n​Xi2​∼χ2(n)
假如 σ2≠1\sigma^2\ne 1σ2=1，则
1σ2X′X∼χ2(n)\frac{1}{\sigma^2}X'X\sim\chi^2(n)σ21​X′X∼χ2(n)
假如 μi≠0\mu_i\ne0μi​=0，则 X′XX'XX′X 服从非中心 χ2\chi^2χ2 分布
X′X∼χ2(n,δ)X'X\sim\chi^2(n,\delta)X′X∼χ2(n,δ)
此中 δ=μ′μ=∑i=1nμi2\delta=\mu'\mu=\sum^n_{i=1}\mu^2_iδ=μ′μ=∑i=1n​μi2​
结论2

设 X∼Np(0,σ2I)X\sim N_p(0,\sigma^2I)X∼Np​(0,σ2I)
AAA 为对称矩阵，且 rank(A)=rrank(A)=rrank(A)=r，则
X′AX/σ2∼χ2(r)⟺A2=AX'AX/\sigma^2\sim\chi^2(r)\Longleftrightarrow A^2=AX′AX/σ2∼χ2(r)⟺A2=A
证实

充实性

由于 AAA 是对称矩阵，可对角化
以是存在正交矩阵 Γ\GammaΓ，使得
Γ′AΓ=diag(λ1,⋯ ,λr,0,⋯ ,0)\Gamma'A\Gamma=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0)Γ′AΓ=diag(λ1​,⋯,λr​,0,⋯,0)
令 Y=Γ′XY=\Gamma'XY=Γ′X，则
Y∼Np(Γ′0,Γ′σ2IΓ)=Np(0,σ2I)X=ΓYY\sim N_p(\Gamma'0,\Gamma'\sigma^2 I\Gamma)=N_p(0,\sigma^2 I)\\X=\Gamma YY∼Np​(Γ′0,Γ′σ2IΓ)=Np​(0,σ2I)X=ΓY
以是
ξ=X′AX/σ2=Y′Γ′AΓY/σ2=∑i=1rλiYi2/σ2\xi=X'AX/\sigma^2=Y'\Gamma'A\Gamma Y/\sigma^2=\sum^r_{i=1}\lambda_iY^2_i/\sigma^2ξ=X′AX/σ2=Y′Γ′AΓY/σ2=i=1∑r​λi​Yi2​/σ2
且 YiY_iYi​ 独立同 N(0,σ2)N(0,\sigma^2)N(0,σ2) 分布
这个条件感觉是通过正交矩阵的性子得出的
以是 Yi2/σ2∼χ2(1)Y^2_i/\sigma^2\sim\chi^2(1)Yi2​/σ2∼χ2(1)，∑i=1rλiYi2/σ2\sum^r_{i=1}\lambda_iY^2_i/\sigma^2∑i=1r​λi​Yi2​/σ2 的特性函数为
∏j=1r(1−2iλjt)−1/2\prod^r_{j=1}(1-2i\lambda_jt)^{-1/2}j=1∏r​(1−2iλj​t)−1/2
已知 ξ=X′AX/σ2∼χ2(r)\xi=X'AX/\sigma^2\sim\chi^2(r)ξ=X′AX/σ2∼χ2(r)，其特性函数为
(1−2it)−r/2(1-2it)^{-r/2}(1−2it)−r/2
以是 λi=1\lambda_i=1λi​=1，于是
diag(1,⋯ ,1,0,⋯ ,0)=Γ′AΓ=Γ′AΓ⋅Γ′AΓ=Γ′A2Γdiag(1,\cdots,1,0,\cdots,0)=\Gamma'A\Gamma=\Gamma'A\Gamma\cdot\Gamma'A\Gamma=\Gamma'A^2\Gammadiag(1,⋯,1,0,⋯,0)=Γ′AΓ=Γ′AΓ⋅Γ′AΓ=Γ′A2Γ
须要性

由于 AAA 是对称幂等矩阵，以是存在正交矩阵 Γ\GammaΓ
Γ′AΓ=[Ir000]\Gamma'A\Gamma=\left[\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right]Γ′AΓ=[Ir​0​00​]
令 Y=Γ′XY=\Gamma'XY=Γ′X，则
Y∼Np(0,σ2I)Y\sim N_p(0,\sigma^2 I)Y∼Np​(0,σ2I)
ξ=X′AX/σ2=Y′Γ′AΓY/σ2=1σ2Y′[Ir000]Y=1σ2∑i=1rYi2\xi=X'AX/\sigma^2=Y'\Gamma'A\Gamma Y/\sigma^2=\frac{1}{\sigma^2}Y'\left[\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right]Y=\frac{1}{\sigma^2}\sum^r_{i=1}Y^2_iξ=X′AX/σ2=Y′Γ′AΓY/σ2=σ21​Y′[Ir​0​00​]Y=σ21​i=1∑r​Yi2​
又 YiY_iYi​ 独立同 N(0,σ2)N(0,\sigma^2)N(0,σ2) 分布，以是
ξ=1σ2∑i=1rYi2∼χ2(r)\xi=\frac{1}{\sigma^2}\sum^r_{i=1}Y^2_i\sim\chi^2(r)ξ=σ21​i=1∑r​Yi2​∼χ2(r)
结论3

设 X∼Np(μ,σ2I),A=A2X\sim N_p(\mu,\sigma^2I),A=A^2X∼Np​(μ,σ2I),A=A2，则
1σ2X′AX∼χ2(r,δ)\frac{1}{\sigma^2}X'AX\sim\chi^2(r,\delta)σ21​X′AX∼χ2(r,δ)
此中
δ=1σ2μ′Aμ,r=rank(A)\delta=\frac{1}{\sigma^2}\mu'A\mu,r=rank(A)δ=σ21​μ′Aμ,r=rank(A)
结论4

设 X∼Np(μ,σ2I)X\sim N_p(\mu,\sigma^2I)X∼Np​(μ,σ2I)
AAA 为 nnn 阶对称矩阵
BBB 为 m×nm\times nm×n 矩阵
ξ=X′AX,Z=BX\xi=X'AX,Z=BXξ=X′AX,Z=BX
若 BA=0BA=0BA=0，则
BXBXBX 和 X′AXX'AXX′AX 相互独立
证实

设 rank(A)=rrank(A)=rrank(A)=r，则存在正定矩阵 Γ\GammaΓ
Γ′AΓ=diag(λ1,⋯ ,λr,0,⋯ ,0)=[Dr000]\Gamma'A\Gamma=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0)=\left[\begin{matrix}D_r&0\\0&0\end{matrix}\right]Γ′AΓ=diag(λ1​,⋯,λr​,0,⋯,0)=[Dr​0​00​]
由 BA=0BA=0BA=0
BA=BΓ[Dr000]Γ′=(C1 C2)[Dr000]Γ′=(C1Dr 0)Γ′=0BA=B\Gamma \left[\begin{matrix}D_r&0\\0&0\end{matrix}\right]\Gamma'=(C_1\ C_2)\left[\begin{matrix}D_r&0\\0&0\end{matrix}\right]\Gamma'=(C_1D_r\ 0)\Gamma'=0BA=BΓ[Dr​0​00​]Γ′=(C1​ C2​)[Dr​0​00​]Γ′=(C1​Dr​ 0)Γ′=0
以是 C1=0C_1=0C1​=0
令 Y=Γ′XY=\Gamma'XY=Γ′X
X′AX=Y′Γ′AΓY=Y′[Dr000]Y=∑i=1rλiYi2X'AX=Y'\Gamma'A\Gamma Y=Y'\left[\begin{matrix}D_r&0\\0&0\end{matrix}\right]Y=\sum^r_{i=1}\lambda_iY^2_iX′AX=Y′Γ′AΓY=Y′[Dr​0​00​]Y=i=1∑r​λi​Yi2​
BX=BΓY=(C1 C2)Y=C2[Yr+1⋮Yn]BX=B\Gamma Y=(C_1\ C_2)Y=C_2\left[\begin{matrix}Y_{r+1}\\\vdots\\Y_n\end{matrix}\right]BX=BΓY=(C1​ C2​)Y=C2​​Yr+1​⋮Yn​​​
由于 Y1,⋯ ,YrY_1,\cdots,Y_rY1​,⋯,Yr​ 与 Yr+1,⋯ ,YnY_{r+1},\cdots,Y_nYr+1​,⋯,Yn​ 相互独立，故 X′AXX'AXX′AX 与 BXBXBX 相互独立
结论6

设 X∼Np(μ,σ2I)X\sim N_p(\mu,\sigma^2I)X∼Np​(μ,σ2I)
A,BA,BA,B 为 nnn 阶对称矩阵
则
AB=0⟺X′AX与X′BX相互独立AB=0\Longleftrightarrow X'AX与X'BX相互独立AB=0⟺X′AX与X′BX相互独立