算法题之香槟塔

香槟塔

我们把玻璃杯摆成金字塔的外形，此中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯将盛有香槟。
从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右双方的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右双方的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）
比方，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时统共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中心的玻璃杯盛放了一半的香槟，他双方的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

2. <strong>示例 1:</strong>
3. <strong>输入:</strong> poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
4. <strong>输出:</strong> 0.00000
5. <strong>解释:</strong> 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。
7. <strong>示例 2:</strong>
8. <strong>输入:</strong> poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
9. <strong>输出:</strong> 0.50000
10. <strong>解释:</strong> 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

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示例 3:

2. <strong>输入:</strong> poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
3. <strong>输出:</strong> 1.00000 

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提示:

• 0 <= poured <= 
  
  
  
• 0 <= query_glass <= query_row < 100
  

 解题思绪

这道题，我们可以用模拟香槟活动的方式来实验解答：

• 如果第一层的香槟满了，就会往第二层流，而且会往左右活动，活动的香槟量也是类似的。
  
• 如果第二层的香槟满了，就会往第三层活动，我们会发现第三层中心的杯子，会接住第二层两个杯子的香槟；而第三层左边和右边的杯子，只会接住一个杯子的香槟。
  

我们开端可以判断出来，每一层的香槟量是不一样的；是根据上一层中，相邻两个杯子中多余的香槟量来决定的。 当上一层的杯子满了才会玩下游动，没有装满时，下一层的杯子里就是空的。
根据提示可知，最多只管帐算到第100层杯子的香槟量。以是如果用模拟的方式，时间复杂度不会过高；我们可以用一个二维数组纪录每一杯子中的香槟量，先把poured的香槟，都倒入到第一层的第一个杯子中，然后根据上一层的香槟，来遍历每一层和每一个杯子的香槟，直到盘算到query_row行，位置为query_glass杯子里的香槟。
如果我们用一个二维数组来纪录每个杯子的香槟量，从空间复杂度的角度思量，可以再压缩一下，利用一个数组长度为query_row的一维数组row来纪录query_row行的香槟量。每次遍历一层时，我们都会革新row的元素值；而每次遍历到当前层时，大于当前层数的row元素中，初始值默以为0。以是，为了方便盘算，遍历每层的时间，可以接纳倒序遍历的方式。
此中，当上一层的杯子满了，盘算本层时，必要记得把香槟量减去一，然后再除以2盘算。具体的代码如下所示：

2. class Solution {
3.     public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
4.         float [] row = new float[query_row + 1];
5.         row[0] = poured;
6.         for (int i = 1; i <= query_row; i++) {
7.             for (int j = i; j >= 0; j--) {
8.                 float last_row1 = j > 0 ? row[j-1] : 0;
9.                 float last_row2 = row[j];
10.                 row[j] = last_row1 > 1 ? (last_row1 - 1) / 2 : 0;
11.                 if (last_row2 > 1) {
12.                    row[j] += (last_row2 - 1) / 2;
13.                 }
14.             }
15.         }
16.         return row[query_glass] > 1 ? 1 : row[query_glass];
17.     }
18. }

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复杂度分析

• 时间复杂度：
  
  ，利用了两层 for 循环。
  
• 空间复杂度：
  
  。利用一维数组实现的空间复杂度是
  
  。