高光谱成像（十）基于 LMM 的端元提取

在上一篇中，我们已经先容了光谱解混的根本头脑。光谱解混通常以 LMM 为底子模子，其一个像素的光谱被体现为多个端元光谱的线性组合：

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^{p} a_i \mathbf{s}_i + \mathbf{n}\]
\(\mathbf{s}_i\) 就是第 \(i\) 种质料的端元光谱。
在前面的解混方法和检测算法中，我们都默认端元光谱是已知的。它们来自光谱库、实地采样大概图像中选取的纯像素，可以让我们直接使用。
但在很多现实应用中，端元光谱每每是未知的。 这时就必要从高光谱图像自己中提取具有代表性的纯光谱，这个过程就被称为端元提取。
端元提取是光谱解混的告急前置步调，也是高光谱分析范畴中的一个告急研究方向。
本篇内容就关于基于 LMM 的端元提取。
1.端元提取的数学逻辑

怎样从观测光谱的肴杂特性中提取各个端元的纯光谱？
现实上，基于 LMM ，我们可以推导出端元在向量空间中的数学特性。
我们用一个例子来阐明：
起首，假设场景里只有三种质料及其相应纯光谱：

• 植被：\(\mathbf{s}_1\)
  
• 泥土：\(\mathbf{s}_2\)
  
• 水体：\(\mathbf{s}_3\)
  

我们将其代入 LMM 公式中，体现观测光谱：

\[\mathbf{x}=a_1 \mathbf{s}_1+a_2 \mathbf{s}_2+a_3 \mathbf{s}_3\]
而且：

\[a_1+a_2+a_3=1, \quad a_i\ge0  \]
到这都是我们认识的根本内容，即观测光谱 = 三种端元光谱的加权匀称。
继承，方便画图，我们假设光谱只有两个波段，以是一个光谱就可以体现为一个二维向量：

\[\mathbf{s}=(b_1,b_2)  \]
以是,现在植被、泥土和水体的纯光谱就可以在二维空间上体现为三个点。

现在，如果某个像素的构成为：

\[50\%植被+50\%泥土\]
那么其观测光谱就是：

\[\mathbf{x}=0.5 \mathbf{s}_1 +0.5 \mathbf{s}_2\]
体现在图中就是如许：

再复杂一点，如果是：

\[30\%植被+40\%泥土+30\%水体\]
那么其在向量空间里的位置就是如许：

继承推广就会发现：在这个例子中，基于 LMM 体现的全部观测光谱都会落在这个三角形内里。
而在数学上，像如许把能包住全部数据点的最小凸聚集叫做：凸包（Convex Hull）。
在这个例子里：三角形就是凸包。
基于此，再回到高光谱范畴里来，我们知道端元光谱是纯质料光谱。也就是 100% 植被/泥土/水体。
这些点是全部肴杂光谱的极度环境。以是它们肯定在凸包的最外侧，也就是凸包极点。

在高维空间中也是同理，在高光谱图像中，把全部像素体现在向量空间中，就会形成一个点云，肴杂像素在内部，端元光谱作为极度环境在最外侧。
以是，像素数据会形成一个高维凸包，端元就是凸包极点。
总结来说，基于 LMM 的端元提取算法，本质上都是在 高维空间中探求或近似估计这些凸包极点。
2.像素纯度指数 PPI

PPI（Pixel Purity Index）是一种经典的早期高光谱端元提取算法。
它的逻辑非常直观，可以明白为一种随机方向扫描，我们扼要睁开其过程如下：

步调很简朴，可以发现，PPI 实在是从多少角度上对像素特性举行统计：

• 内部点：无论怎么投影，通常都不会成为极值。
  
• 凸包极点：很轻易在某些方向上成为最远点。
  

因此：端元像素会在随机投影中反复成为极度点。 这就是 PPI 的焦点头脑。
PPI 实现简朴且易于明白，对高维光谱数据具有较好的顺应性。
不外，它也存在一些显着范围。算法依赖大量随机投影以包管统计稳固性，因此盘算本钱高。同时随机投影对噪声较为敏感，噪声大概导致非端元像素被错误辨以为极值点。
末了，PPI 通常只能得到一组端元候选像素，在现实应用中每每还必要联合人工判断或进一步的算法步调来确定终极度元。
这种方法纵然在早期方法中也并不主流，简朴相识这种思绪即可。
3. N-FINDR

N-FINDR 自己是算法缩写式定名，并没有较官方的中文翻译。它出自 1999 年的论文：N-FINDR: an algorithm for fast autonomous spectral end-member determination in hyperspectral data
与 PPI 通过随机投影探求极值点差异，N-FINDR 的焦点头脑更加多少化：

如果端元存在于数据中，那么它们所形成的单纯形体积应该是最大的。

要表明它，我们起主要明白单纯形的多少寄义。
3.1 单纯形（simplex）

N-FINDR 以为全部数据点会落在端元构成的一个单纯形内部。
而差异维度下的单纯形实在就是各个端元在光谱空间内直线相连所形成的图形。
如 2 个端元的单纯形就是线段、3 个端元就是三角形、4 个端元就是附近体······

终极，对于 p 个端元，我们就要徐徐构建出一个 p−1 维的单纯形。
以是，使用 N-FINDR 的一个条件就是：我们必要提前知道端元数量。
3.2 算法过程

N-FINDR 的算法实在也是一种搜刮，焦点是在过程中徐徐扩展单纯形体积。

它的逻辑是如许的：

• 肴杂像素位于凸包内部，端元位于凸包极点。
  
• 如果选择的端元不是真正的极点，那么单纯形体积就会偏小.。
  
• 只有当选择到真正的端元时，形成的单纯形体积才会最大。
  

因此：最大要积单纯形的极点就是端元。
与 PPI 相比，N-FINDR 在端元提取过程中具有显着上风。该方法不依赖随机投影，因此更加稳固，也不必要再举行人工筛选或二次分析。
固然，N-FINDR 仍旧存在范围：算法必要事先给定端元数量，当这一参数估计禁绝确时大概影响结果。
别的，该方法通常依赖“纯像素假设”，如果图像中不存在靠近纯端元的像素，算法得到的端元结果也大概出现弊端。
4. VCA（Vertex Component Analysis）

VCA 同样是一种算法缩写式定名，中文文献中通常直接使用 VCA，较少举行同一翻译。其全称为 Vertex Component Analysis，在 2005 年发表于论文：Vertex Component Analysis: A Fast Algorithm to Unmix Hyperspectral Data。
简朴来说：VCA 通过不停探求数据在随机方向上的极度点，徐徐确定端元对应的凸包极点。
光看这点，实在和 PPI 非常相似，但差异于 PPI 的统计方法，VCA 有明白的数学逻辑和迭代计谋。
4.1 降维

VCA 的第一步是对数据举行降维，通常使用的方法就是我们前面先容的PCA或 MNF。
但这不是为了单纯淘汰盘算量，它是要将数据映射到 \(p-1\) 维子空间。
缘故起因是如果存在 \(p\) 个端元，那么端元形成的单纯形维度就是 \(p-1\) ，数据现实上是位于一这个低维子空间中的。
这里很轻易出现标题：数据维度不是波段数决定的吗？为什么和端元数有关？
要明白这一点，我们起主要明白一个自由度的概念：

一个体系中，有多少个变量可以“独立地随意变革”。

来举例阐明一下：

这就是自由度的根本概念，而在高光谱范畴中，也是一个原理：
固然光谱存在多个波段，这决定了数据的体现维度，但是，LMM 同样也存在束缚：

\[\mathbf{x} = \sum_{i=1}^{p} a_i \mathbf{s}_i, \quad \sum_i a_i = 1\]
现在，再明白一遍这个式子：纵然是再多维度的体现，每个端元光谱在向量空间里也只是一个点，只要端元数确定，那肴杂像素只会在各个端元光谱围成的空间内。
也就说，纵然是 200 个波段形成的 200 维向量空间，而端元只有 2 个的环境下，全部像素也只会在这个端元的连线上，也就是一个 1 维空间上。
再来看束缚：

\[a_1 + a_2 + \dots + a_p = 1\]
显然，只要知道前 \(p-1\) 个 \(a_i\)，第 \(p\) 个就确定了，这个体系中的自由度就是 \(p-1\)。
以是只管原始向量在高维波段空间，全部像素点现实上只分布在一个 \(p-1\) 维的低维子空间。
可以明白为，数据固然存在于高维空间中，但真正“有用”的变革只发生在一个低维子空间内，其他维度是冗余的。
因此，将数据降维到 \(p-1\) 维后，就在低落盘算量的同时生存了端元的多少结构，可以举行更好的端元提取。
4.2 迭代投影

完成了降维处理处罚后，现在全部像素就会在 \(p-1\) 维的向量空间内形成一个凸包，目的仍旧稳固：搜刮凸包极点。
而 VCA 的算法逻辑是如许的：

这是 VCA 的根本逻辑，但如果只是如许，很轻易出现一个标题：
端元作为极点，其投影巨细和所天生的单元向量方向有关，不但会成为最大值，也大概成为最小值，就像如许：

对此，VCA 天然有它的处理处罚逻辑：

总结来说，VCA 的过程可以明白为：

• 在随机方向上探求一个凸包极点。
  
• 将该极点方向“剔除”。
  
• 在剩余空间中继承探求新的极点。
  

终极徐徐找到全部极点。
相比于 PPI 和 N-FINDR，VCA 具有一些显着上风。由于算法基于线性投影和矩阵运算，其盘算服从较高，不必要像 PPI 那样举行大量随机统计，也不必要像 N-FINDR 那样反复盘算单纯形体积，因此在现实应用中更加高效。
不外，该方法和 N-FINDR 拥有类似的范围：依赖纯像素假设，仍旧必要提前指定端元数量。
5. 基于 LLM 的端元提取算法

基于 LMM 的端元提取方法为高光谱图像提供了一条直接、多少意义明白的端元获取路径，这类方法得当绝大多数天然场景的快速分析。
但在纯像素缺失、高噪声或端元数未知的环境下，必要联合其他方法（如软束缚解混、希奇端元提取等）举行增补。
总体来说，这类方法是高光谱端元提取的底子和焦点，明白其原理有助于进一步筹划更复杂和妥当的端元提取计谋，也经常在实行筹划中作为基线方法举行对比。