离散概率分布：正态分布，二项分布，连续分布，正态分布的性子

离散概率分布

对于任何具有离散分布的随机变量，其样本空间（大概的取值聚集）是有限的或可数无穷的，而且每个大概的取值都对应一个概率。

• 概率质量函数（PMF）： 界说离散随机变量 X 取某个特定值的概率：
  f(x)=P(X=x)
  
• 累积分布函数（CDF）： 界说随机变量 X 小于或即是某个值的概率：
  F(x)=P(X≤x)
  
• 性子：
  
  
  
  • 概率总和为 1：
    ∑i=1∞P(X=xi)=1\sum_{i=1}^{\infty} P(X = x_i) = 1i=1∑∞​P(X=xi​)=1
    
  • 概率非负： P(X=xi)≥0
    
  • 不大概出现的变乱概率为 0，而肯定发生的变乱概率为 1： 0≤P(X=x)≤1
    
  
  

示例：掷一个公平的六面骰子

假设 X 表现掷一个公平六面骰子的效果，其大概的取值是：
X∈{1,2,3,4,5,6}
由于骰子是公平的，以是每个面出现的概率都是相称的，即：
P(X=x)={16,x∈{1,2,3,4,5,6}0,otherwiseP(X = x) = \begin{cases}  \frac{1}{6}, & x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}P(X=x)={61​,0,​x∈{1,2,3,4,5,6}otherwise​
这就是骰子的概率质量函数（PMF）。
渴望的盘算 (1+2+3+4+5+6+) * 1/6 = 3.5
二项分布与连续分布

1. 二项分布（Binomial Distribution）

二项分布是用于建模二项试验（Bernoulli Trials）**的离散概率分布，实用于独立重复试验的场景，每次试验只有**乐成或失败两种效果。

• 设随机变量 X 表现 n 次独立伯努利试验中乐成的次数，每次试验乐成的概率为 p，则 X 服从二项分布：
  S∼Binominal(p,n)
  渴望是p x n，也是图中的中央
  

• 概率质量函数（PMF）：
  P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,nP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0,1,2,...,nP(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n
  此中：
  (nk)=n!k!(n−k)!  \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}  (kn​)=k!(n−k)!n!​
  是组合数，表现从 n次试验中选 k次乐成的大概方式。
  pk  p^k  pk
  表现 kkk 次乐成的概率。
  (1−p)n−k  (1-p)^{n-k}  (1−p)n−k
  表现别的 n−k 次失败的概率。
  
• 均值与方差：
  E(X)=np,Var(X)=np(1−p)
  
• 示例： 如果一枚硬币抛 10 次，每次正面朝上的概率是 0.5，则 X（出现正面的次数）服从二项分布：
  X∼Bin(10,0.5)
  盘算 P(X=5)：
  P(X=5)=(105)(0.5)5(0.5)5=10!5!5!×0.510=0.246P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^5 = \frac{10!}{5!5!} \times 0.5^{10} = 0.246P(X=5)=(510​)(0.5)5(0.5)5=5!5!10!​×0.510=0.246
  

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2. 连续分布（Continuous Distributions）

如果随机变量 X 取值为不可数的无穷多个值，则它服从连续概率分布。比方，一个人的身高可以是恣意实数（如 170.5cm），而不是离散的整数值（如 170cm 或 171cm）。

• 概率密度函数（PDF）： 对于连续随机变量，点概率 P(X=x)=0，但可以通过概率密度函数 f(x) 盘算一个区间的概率：
  P(a≤X≤b)=∫abf(x)dxP(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dxP(a≤X≤b)=∫ab​f(x)dx
  性子：
  
  
  
  • f(x)≥0（密度非负）
    
  • 总概率为 1：
    ∫−∞∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1∫−∞∞​f(x)dx=1
    
  • 累计分布函数（CDF）：
    F(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t)dtF(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dtF(x)=P(X≤x)=∫−∞x​f(t)dt
    
  
  
• 示例：标准正态分布： 正态分布是最常见的连续分布，表现为：
  X∼N(μ,σ^2)
  此中：
  
  
  
  • μ 是均值（渴望值）
    
  • σ^2 是方差（标准差 σ的平方）
    
  • 概率密度函数（PDF）：
    f(x)=12πσ2e−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}f(x)=2πσ2​1​e−2σ2(x−μ)2​
    
  示例盘算： 在 R 语言中，dnorm(10, 10, 0.1)
  盘算的是 N(10,0.12) 在 x=10x 处的概率密度：
  1. dnorm(10, 10, 0.1)

  复制代码

在连续型概率分布的概率密度函数（PDF）\中，确实大概出现 f(x)>1 的情况。这并不违背概率的根本规则。缘故原由如下：
1. PDF 的关键性子

一个概率密度函数 f(x) 必须满足以下条件：

• 非负性：对全部 x ，都有 f(x)≥0
  
• 总概率为 1：整个界说域上的积分必须即是 1，即：
  ∫−∞∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1∫−∞∞​f(x)dx=1
  

2. 为什么 f(x)>1大概创建？

在连续分布中，f(x) 表现的是概率密度，而不是详细的概率值。概率密度的物理意义是单元区间内的概率值，而不是点的概率值。因此，f(x) 只要在整个界说域上的面积（积分）仍然是 1，就不会违背概率规则。

• 比方：匀称分布 U(0, 0.5)
  f(x)={2,0≤x≤0.50,其他f(x) = \begin{cases} 2, & 0 \leq x \leq 0.5 \\ 0, & 其他 \end{cases}f(x)={2,0,​0≤x≤0.5其他​
  这里 f(x)=2显着大于 1，但满足：
  ∫00.52dx=1\int_0^{0.5} 2dx = 1∫00.5​2dx=1
  以是仍然是正当的概率密度函数。
  

3. 何时 f(x)不大概大于 1？

对于离散型分布（如二项分布、泊松分布），概率质量函数（PMF）P(X=x) 必须满足 P(X=x)≤1，由于它表现详细的概率值，而不是概率密度。因此，在离散分布中，不大概出现概率大于 1 的情况。
总结

• 连续分布的 PDF 允许 f(x)>1，只要总概率（积分）仍然即是 1。
  
• 离散分布的 PMF 不能大于 1，由于它表现详细的概率。
  

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