马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。
您需要 登录 才可以下载或查看，没有账号？立即注册
×
本卷观察内容：高中课程内容及拓展。
本卷观察情势：书面作答（客观题18小题+解答题4题）。
卷首语：中科大少年班、创新班每年大规模招录在数理结果优秀的中学门生。此中初试数学题在高考根本上略有拓展，难度又低于联赛一试，考法机动，须要考生极其深刻的洞察力和题目分析本事。本卷仿往年真题卷而命制，但不拘泥于情势，渴望在考生的备考过程中起到良好作用。
一、填空题（共18小题）
1、设 x = 202 5 2025 x=2025^{2025} x=20252025，则 lg lg lg x lg x − lg lg x lg lg x \lg\lg\lg x^{\lg x}-\lg\lg x^{\lg\lg x} lglglgxlgx−lglgxlglgx+ lg x lg lg lg x − x lg lg lg lg x = \lg x^{\lg\lg\lg x}-x^{\lg\lg\lg\lg x}= lgxlglglgx−xlglglglgx=___.
【答案】0
2、不等式 m i n { sin x , cos x } < m i n { 1 − sin x , 1 − cos x } min\lbrace\sin x,\cos x \rbrace\lt min\lbrace1-\sin x,1-\cos x\rbrace min{sinx,cosx}<min{1−sinx,1−cosx} 的解集为___.
【答案】 { x ∣ − 3 π 2 + 2 k π < x < 2 k π , k ∈ Z } \lbrace x|-\frac{3\pi}{2}+2k\pi\lt x\lt 2k\pi,k\in Z\rbrace {x∣−23π+2kπ<x<2kπ,k∈Z}
3、点 P P P 在 x x x 轴上活动，已知点 A ( 0 , 1 ) 、 B ( 1 , − 2 ) 、 C ( 4 , 3 ) A(0,1)、B(1,-2)、C(4,3) A(0,1)、B(1,−2)、C(4,3)，则 ∣ P A ∣ + ∣ P B ∣ + ∣ P C ∣ \left|PA\right|+\left|PB\right|+\left|PC\right| ∣PA∣+∣PB∣+∣PC∣ 的最小值为___.
【答案】 2 + 4 2 2+4\sqrt{2} 2+42
4、已知圆锥的外貌积为 π \pi π，则其体积的最大值为____.
【答案】 2 12 π \frac{\sqrt{2}}{12}\pi 122 π
5、设 A , B A,B A,B 是随机变乱，则 ∣ P ( A B ) − P ( A ) P ( B ) ∣ \left|P(AB)-P(A)P(B)\right| ∣P(AB)−P(A)P(B)∣ 的最大值为___.
【答案】 1 4 \frac{1}{4} 41
6、设 A , B A,B A,B 是随机变乱且 P ( A ∣ B ) + P ( B ∣ C ) + P ( C ∣ A ) = 1 P(A|B)+P(B|C)+P(C|A)=1 P(A∣B)+P(B∣C)+P(C∣A)=1，则 P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) P(A)+P(B)+P(C) P(A)+P(B)+P(C) 的取值范围为___.
【答案】 ( 0 , 2 ) (0,2) (0,2)
7、已知点 A ( − 1 , 0 ) , B ( 1 , 0 ) , C ( 0 , 1 ) A(-1,0),B(1,0),C(0,1) A(−1,0),B(1,0),C(0,1)，直线 y = k x + b ( k > 0 ) y=kx+b(k\gt0) y=kx+b(k>0)将 △ A B C \triangle{ABC} △ABC 分割为面积相称的两部门，则 b b b 的取值范围为___.
【答案】 ( 1 − 2 2 , 1 2 ) (1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}) (1−22 ,21)
8、已知实数 0 < b < 1 0\lt b\lt 1 0<b<1， 0 < a < π 4 0\lt a\lt \frac{\pi}{4} 0<a<4π， x = ( sin a ) log b sin a x=(\sin a)^{\log_{b}{\sin a}} x=(sina)logbsina， y = ( cos a ) log b cos a y=(\cos a)^{\log_{b}{\cos a}} y=(cosa)logbcosa， z = ( sin a ) log b cos a z=(\sin a)^{\log_{b}{\cos a}} z=(sina)logbcosa， w = ( cos a ) log b sin a w=(\cos a)^{\log_{b}{\sin a}} w=(cosa)logbsina，试比力 x , y , z , w x,y,z,w x,y,z,w 的巨细关系：___.
【答案】 x < z = w < y x\lt z=w\lt y x<z=w<y
9、把一根绳子随机分成三段，则这三段能构成三角形的概率是___.
【答案】 1 4 \frac{1}{4} 41
10、一个正方体的睁开图共有___种.（旋转、翻转后全等的图形视作一种）
【答案】11
11、若方程 sin ( a cos x ) = cos ( b sin x ) \sin(a\cos x)=\cos(b\sin x) sin(acosx)=cos(bsinx) 无实根，则 a 2 + b 2 a^2+b^2 a2+b2 的取值范围为___.
【答案】 [ 0 , π 2 4 ) [0,\frac{\pi^{2}}{4}) [0,4π2)
12、设 a 1 , a 2 , ⋯ , a 2025 a_1,a_2,\cdots,a_{2025} a1,a2,⋯,a2025 和 b 1 , b 2 , ⋯ , b 2025 b_1,b_2,\cdots,b_{2025} b1,b2,⋯,b2025 是4050个不等实数，则两函数 y = ∣ x − a 1 ∣ + ∣ x − a 2 ∣ + ⋯ + ∣ x − a 2025 ∣ y=\left|x-a_1\right|+\left|x-a_2\right|+\cdots+\left|x-a_{2025}\right| y=∣x−a1∣+∣x−a2∣+⋯+∣x−a2025∣ 与 y = ∣ x − b 1 ∣ + ∣ x − b 2 ∣ + ⋯ + ∣ x − b 2025 ∣ y=\left|x-b_1\right|+\left|x-b_2\right|+\cdots+\left|x-b_{2025}\right| y=∣x−b1∣+∣x−b2∣+⋯+∣x−b2025∣ 的图象至多有___个公共点。
【答案】2025
13、半径为 1 的小球在棱长为 4 6 4\sqrt{6} 46 的附近体容器内自由关东，则小球不大概打仗到的容器内壁的面积为___.
【答案】 72 3 72\sqrt{3} 723
14、点 A , B , C ( A ≠ B ≠ C ) A,B,C(A\ne B\ne C) A,B,C(A=B=C) 在抛物线 y = x 2 y=x^{2} y=x2 上， R R R 为 △ A B C \triangle{ABC} △ABC 的外接圆半径，则 R R R 的取值范围为___.
【答案】 ( 1 2 , + ∞ ) (\frac{1}{2},+\infty) (21,+∞)
15、已知函数 f : R + ⟶ R + f:R_{+}\longrightarrow R_{+} f:R+⟶R+ 单调，且对恣意 x , y ∈ R + x,y\in R_{+} x,y∈R+， x f ( y ) − y f ( x ) ≥ ( x 2 − y 2 ) f ( x ) f ( y ) xf(y)-yf(x)\geq(x^2-y^2)f(x)f(y) xf(y)−yf(x)≥(x2−y2)f(x)f(y)，则 f ( 1 × 2 ) + f ( 2 × 3 ) + ⋯ + f ( 2024 × 2025 ) f(1\times2)+f(2\times3)+\cdots+f(2024\times2025) f(1×2)+f(2×3)+⋯+f(2024×2025) 的值为____.
【答案】 2024 2025 \frac{2024}{2025} 20252024
16、设聚集 A 、 B 、 C A、B、C A、B、C 满意 A ∪ B ∪ C = { 1 , 2 , ⋯ , 2025 } A\cup B\cup C=\lbrace1,2,\cdots,2025\rbrace A∪B∪C={1,2,⋯,2025}，则满意条件的有序聚集对 ( A , B , C ) (A,B,C) (A,B,C) 共有___对。
【答案】 7 2025 7^{2025} 72025
17、设 a a a 为空间内一平面，一个棱长为 1 的正方体在 a a a 上的投影为 S S S，则 S S S 的最大值为___.
【答案】 3 \sqrt{3} 3
18、一次变动可以变动字母串中相邻两个字母额序次，譬如一次变动： A B ⟶ B A , A B C ⟶ A C B AB\longrightarrow BA,ABC\longrightarrow ACB AB⟶BA,ABC⟶ACB，则要将 A B C D E F G ABCDEFG ABCDEFG 变成 G F E D C B A GFEDCBA GFEDCBA 至少须要___次变动。
【答案】21
二、解答题（共4题）
19、已知 sin x + sin y + sin z s i n ( x + y + z ) = cos x + cos y + cos z cos ( x + y + z ) = a \frac{\sin x+\sin y+\sin z}{sin(x+y+z)}=\frac{\cos x+\cos y+\cos z}{\cos(x+y+z)}=a sin(x+y+z)sinx+siny+sinz=cos(x+y+z)cosx+cosy+cosz=a，证明： cos ( x + y ) + cos ( y + z ) cos ( z + x ) = a \cos(x+y)+\cos(y+z)\cos(z+x)=a cos(x+y)+cos(y+z)cos(z+x)=a.
20、设函数： f : R ⟶ R + f:R\longrightarrow R_{+} f:R⟶R+ 单调递增，证明：存在 x o ∈ R x_o\in R xo∈R，使得 f ( x 0 + 1 f ( x 0 ) ) < 2 f ( x 0 ) f(x_0+\frac{1}{f(x_0)})\lt2f(x_0) f(x0+f(x0)1)<2f(x0).
21、设 { a , b } \lbrace a,b \rbrace {a,b} 和 { c , d } \lbrace c,d \rbrace {c,d} 分别是两个矩形的长与宽，且 a < c < d < b a\lt c \lt d\lt b a<c<d<b，证明：第一个矩形能放入第二个矩形当且仅当 ( b c − a d ) 2 + ( b d − a c ) 2 ≥ ( b 2 − a 2 ) 2 (bc-ad)^2+(bd-ac)^2\geq(b^2-a^2)^2 (bc−ad)2+(bd−ac)2≥(b2−a2)2.
22、点 D , E , f D,E,f D,E,f 分别在 △ A B C \triangle{ABC} △ABC 的边 B C , C A , A B BC,CA,AB BC,CA,AB 上，记 △ A F E 、 △ B D F 、 △ C E D 、 △ D E F \triangle{AFE}、\triangle{BDF}、\triangle{CED}、\triangle{DEF} △AFE、△BDF、△CED、△DEF 的面积分别为 α 、 β 、 γ 、 δ \alpha、\beta、\gamma、\delta α、β、γ、δ，证明： m i n { α , β , γ } < δ min\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace\lt\delta min{α,β,γ}<δ
P.S.该试卷的试题和答案均来自网络，博主仅作收录，标题与答案请自行甄别。「2025.3.16 18:32」
|
发表于 2025-10-14 00:40:33