【呆板人】控制之稳固性判定: 李雅普诺夫Lyapunov (7) 判定是否是李函数，头脑导图

要判定一个函数 V(x)是否可以作为某个动力学方程的 Lyapunov 函数，须要满意特定的数学和物理条件。以下是详细分析：
<hr> 1. 满意 Lyapunov 函数的根本条件

一个函数 V(x)可否作为 Lyapunov 函数，须要满意以下根本条件：
1.1 正定性

  

• 界说域： 函数 V(x) 在体系的整个状态空间内界说。  
  
• 条件： V(x)>0当 x≠0,V(0)=0V(x) > 0 \quad \text{当 } x \neq 0, \quad V(0) = 0
  
     
  
  • V(x)) 必须在平衡点以外的地区为正，且在平衡点为零。   
    
  • 物理上，V(x) 通常体现体系的能量或偏差，因此必须是正定的。   
    
  
  

1.2 负定性导数

  

• 时间导数： 盘算 Lyapunov 函数的时间导数：
    
  
• 条件
  
  

1.3 连续可微性

  

• 条件： V(x)和 V˙(x)\dot{V}(x) 必须是连续可微的（至少在体系的状态空间内）。
  
     
  
  • 这确保了在求导和分析稳固性时没有不连续的举动。   
    
  • 对于分段界说的函数，必须在全部分段点处保持连续性。   
    
  
  

<hr> 2. 怎样构造或选择 Lyapunov 函数

构造或选择 V(x) 时，须要联合体系的动力学特性，以下是几种常见方法：
2.1 二次型 Lyapunov 函数