深度学习入门- 梯度（Gradient）(三)

一. 手算梯度

1.盘算下列函数的梯度，并写明过程。

       理论依据是前面两文学习过的：
       链式法则：复合函数的导数可以用构成复合函数的各个函数的导数的乘积体现。
       偏导数是多元函数时：将某一个变量定为目标变量，并将其他变量固定为某个值。
       根据上述理论，我们先看动手写数学盘算过程：

•         step1：求偏导数
  

     F(x1,x2)对x1的偏导数为:

      F(x1,x2)对x2的偏导数为:

•         step2：在点（2，3）处求值
  

     将x1=2,x2=3带入上式：

•         step3:形成梯度向量
  

      该函数在点(2,3)处的梯度向量为：

故：以上二元函数在点(2,3)处的梯度向量为(108,144)。

二.绘制梯度3D图

      从差别的视角来看梯度：
      view(2) 设置默认二维视图 ：

       view(3) 设置默认三维视图：

       附上matlab脚本：

2. [X1, X2] = meshgrid(-5:0.1:5, -5:0.1:5);
4. F = (3*X1 + 4*X2).^2;
6. [GX, GY] = gradient(F);
8. figure;
10. surf(X1, X2, F);
12. hold on;
14. % 为了绘制梯度场箭头，我们需要遍历网格点
16. % 但由于梯度箭头可能会非常密集且难以看清，我们可以选择性地绘制一些箭头
18. step = 5; % 设置步长
20. for i = 1:step:size(X1,1)
22.     for j = 1:step:size(X1,2)
24.         % 提取当前网格点的坐标和梯度值
26.         x = X1(i,j);
28.         y = X2(i,j);
30.         z = F(i,j);
32.         ux = GX(i,j);
34.         uy = GY(i,j);
36.         % 归一化梯度向量（可选步骤，用于控制箭头长度）
38.         norm_factor = sqrt(ux^2 + uy^2);
40.         if norm_factor ~= 0
42.             ux = ux / norm_factor;
44.             uy = uy / norm_factor;
46.         end
48.         % 设置箭头长度（可以根据需要调整）
50.         arrow_length = 0.5;
52.         % 绘制梯度箭头
54.         quiver3(x, y, z, arrow_length * ux, arrow_length * uy, 0, 'r', 'LineWidth', 0.5);
56.     end
58. end
60. xlabel('x1');
62. ylabel('x2');
64. zlabel('f(x1, x2)');
66. title('3D Plot of f(x1, x2) = (3x1 + 4x2)^2 and its Gradient Field');
68. grid on;
70. axis tight;
72. view(3); % 设置视角
74. hold off;

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本文仅为个人学习使用所写。