齐次线性微分方程的解的性子与结构

内容泉源
常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教导出书社

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齐次线性微分方程界说

dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=0\frac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}+a_1(t)\frac{\mathrm{d}^{n-1}x}{\mathrm{d}t^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(t)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_n(t)x=0dtndnx​+a1​(t)dtn−1dn−1x​+⋯+an−1​(t)dtdx​+an​(t)x=0
此中 ai(t)a_i(t)ai​(t) 是 a⩽t⩽ba\leqslant t\leqslant ba⩽t⩽b 上的一连函数
符合以上条件的方程的解存在且唯一，即
对于恣意 t0∈[a,b]t_0\in[a,b]t0​∈[a,b] 及 恣意的 x0,x0(1),⋯ ,x0(n−1)x_0,x^{(1)}_0,\cdots,x^{(n-1)}_0x0​,x0(1)​,⋯,x0(n−1)​ 上式存在唯一解 x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t) 界说与 a⩽t⩽ba\leqslant t\leqslant ba⩽t⩽b 上，且满意初值条件
φ(t0)=x0,dφ(t0)dtn=x0(1),⋯ ,dn−1φ(t0)dtn−1=x0(n−1)\varphi(t_0)=x_0,\frac{\mathrm{d}\varphi(t_0)}{\mathrm{d}t^n}=x^{(1)}_0,\cdots,\frac{\mathrm{d}^{n-1}\varphi(t_0)}{\mathrm{d}t^{n-1}}=x^{(n-1)}_0φ(t0​)=x0​,dtndφ(t0​)​=x0(1)​,⋯,dtn−1dn−1φ(t0​)​=x0(n−1)​
书上没有证实，只说雷同一阶的情况
在初值条件给定的情况下才是唯一的
解的性子与结构

叠加原理

假如 x1(t),x2(t),⋯ ,xk(t)x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t)x1​(t),x2​(t),⋯,xk​(t) 是方程的 kkk 个解，则它们的线性组合
c1x1(t)+c2x2(t)+⋯+ckxk(t)c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_kx_k(t)c1​x1​(t)+c2​x2​(t)+⋯+ck​xk​(t)
也是方程的解，这里 cic_ici​ 是恣意常数全为零不可吧
这个也没证实，只有两条提示：
“常数可以从微分号下提了出来”
“和的导数即是导数之和”
朗斯基(Wronsky)行列式

由界说在 a⩽t⩽ba\leqslant t\leqslant ba⩽t⩽b 上的 kkk 个可微 k−1k-1k−1 次函数 x1(t),x2(t),⋯ ,xk(t)x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t)x1​(t),x2​(t),⋯,xk​(t) 所作成的行列式
W[x1(t),x2(t),⋯ ,xk(t)]≡W(t)≡∣x1(t)x2(t)⋯xk(t)x1′(t)x2′(t)⋯xk′(t)⋮⋮⋮x1(k−1)(t)x2(k−1)(t)⋯xk(k−1)(t)∣W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_k(t)]\equiv W(t)\equiv\left|\begin{matrix}x_1(t)&x_2(t)&\cdots&x_k(t)\\x'_1(t)&x'_2(t)&\cdots&x'_k(t)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x^{(k-1)}_1(t)&x^{(k-1)}_2(t)&\cdots&x^{(k-1)}_k(t)\\\end{matrix}\right|W[x1​(t),x2​(t),⋯,xk​(t)]≡W(t)≡​x1​(t)x1′​(t)⋮x1(k−1)​(t)​x2​(t)x2′​(t)⋮x2(k−1)​(t)​⋯⋯⋯​xk​(t)xk′​(t)⋮xk(k−1)​(t)​​
称为这些函数的朗斯基行列式
用途

• 若函数 x1(t),x2(t),⋯ ,xn(t)x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)x1​(t),x2​(t),⋯,xn​(t) 在 a⩽t⩽ba\leqslant t\leqslant ba⩽t⩽b 上线性干系，则在 [a,b][a,b][a,b] 上它们的朗斯基行列式 W(t)≡0W(t)\equiv0W(t)≡0
  
• 假如方程的解 x1(t),x2(t),⋯ ,xn(t)x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)x1​(t),x2​(t),⋯,xn​(t) 在 a⩽t⩽ba\leqslant t\leqslant ba⩽t⩽b 上线性无关，则 W[x1(t),x2(t),⋯ ,xn(t)]W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)]W[x1​(t),x2​(t),⋯,xn​(t)] 在这个区间上的任何点上都不即是零
  

注意，第一点的逆定理一样平常不建立
证实1

由线性干系的假设，存在一组不全为零的常数 c1,c2,⋯ ,cnc_1,c_2,\cdots,c_nc1​,c2​,⋯,cn​ ，使得
c1x1(t)+c2x2(t)+⋯+cnxn(t)≡0,a⩽t⩽bc_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)\equiv0,a\leqslant t\leqslant bc1​x1​(t)+c2​x2​(t)+⋯+cn​xn​(t)≡0,a⩽t⩽b
将此恒等式依次对 ttt 求导
{c1x1′(t)+c2x2′(t)+⋯+cnxn′(t)=0c1x1′′(t)+c2x2′′(t)+⋯+cnxn′′(t)=0     ⋮c1x1(n−1)(t)+c2x2(n−1)(t)+⋯+cnxn(n−1)(t)=0\begin{cases}c_1x'_1(t)+c_2x'_2(t)+\cdots+c_nx'_n(t)=0\\c_1x''_1(t)+c_2x''_2(t)+\cdots+c_nx''_n(t)=0\\\ \ \ \ \ \vdots\\c_1x^{(n-1)}_1(t)+c_2x^{(n-1)}_2(t)+\cdots+c_nx^{(n-1)}_n(t)=0\\\end{cases}⎩⎨⎧​c1​x1′​(t)+c2​x2′​(t)+⋯+cn​xn′​(t)=0c1​x1′′​(t)+c2​x2′′​(t)+⋯+cn​xn′′​(t)=0     ⋮c1​x1(n−1)​(t)+c2​x2(n−1)​(t)+⋯+cn​xn(n−1)​(t)=0​
加上求导前的恒等式，构成齐次线性代数方程组
系数行列式就是 W[x1(t),x2(t),⋯ ,xn(t)]W[x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)]W[x1​(t),x2​(t),⋯,xn​(t)]
由线署理论可知，此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零
证实2

用反证，假设存在某个 t0t_0t0​ 使得 W(t0)=0W(t_0)=0W(t0​)=0
再次由线署理论知，上面的方程组肯定有非零解 c1,c2,⋯ ,cnc_1,c_2,\cdots,c_nc1​,c2​,⋯,cn​
用叠加原理构造一个新解
x(t)≡c1x1(t)+c2x2(t)+⋯+cnxn(t)x(t)\equiv c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)x(t)≡c1​x1​(t)+c2​x2​(t)+⋯+cn​xn​(t)
这个解满意初值条件
x(t0)=x′(t0)=⋯=x(n−1)(t0)=0x(t_0)=x'(t_0)=\cdots=x^{(n-1)}(t_0)=0x(t0​)=x′(t0​)=⋯=x(n−1)(t0​)=0
就是方程组的每一行
但x=0x=0x=0 显然也是方程满意以上初值条件的解
由解的唯一性知 x(t)≡0x(t)\equiv0x(t)≡0 ，即
c1x1(t)+c2x2(t)+⋯+cnxn(t)≡0c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)\equiv0c1​x1​(t)+c2​x2​(t)+⋯+cn​xn​(t)≡0
又 c1,c2,⋯ ,cnc_1,c_2,\cdots,c_nc1​,c2​,⋯,cn​ 不全为零，与 x1(t),x2(t),⋯ ,xn(t)x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)x1​(t),x2​(t),⋯,xn​(t) 线性无关的假设抵牾
连合以上两点息争的存在唯一性

nnn 阶齐次线性方程肯定存在 nnn 个线性无关的解
通解结构

假如 x1(t),x2(t),⋯ ,xn(t)x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)x1​(t),x2​(t),⋯,xn​(t) 是方程的 nnn 个线性无关的解，则通解可表现为
x=c1x1(t)+c2x2(t)+⋯+cnxn(t)x=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+\cdots+c_nx_n(t)x=c1​x1​(t)+c2​x2​(t)+⋯+cn​xn​(t)
nnn 阶齐次线性微分方程的全部解构成一个 nnn 维线性空间
方程的一组 nnn 个线性无关解成为方程的一个根本解组
特殊地，当 W(t0)=1W(t_0)=1W(t0​)=1 时称其为尺度根本解组