用Manim实现动态交点盘算--从一个动点标题提及

各人好，本日想和各人分享一个在制作Manim动画时非常实用的话题：怎样动态盘算两条直线的交点。
对于动点标题，比如初中数学中经典的“时钟模子”或“将军饮马”及其变种等等，硬编码坐标肯定不可，由于交点坐标是随动点变革的。
下面，我们联合 Python 的符号盘算库 SymPy 和 Manim 的更新器（Updater），来实现真正的动态交点盘算。
1. 从一个初中标题提及

先来看一道经典的初中动点标题：

这个标题中，当点$ E \(和\) F \(在线段\) AD \(上移动时，点\) H \(和\) G $都随之变动。
标题怎样解答我们不消管，我们的重点是怎样实现点$ E \(和\) F \(移动时，及时的更新点\) H \(和\) G $。
2. 办理方案：用Sympy解方程组

这里简单阐明下，Sympy是一个Python的符号盘算库，可以像数学课本那样举行代数运算。
它能解方程、求导积分、化简表达式，最告急的是能正确求解方程组，返回的是正确的数学解而不是近似值。
我们实现这个动画效果时，是根据两个直线的方程来求解它的交点的，如果没有Sympy，我们要手动推导直线方程、联立求解，代码会非常冗长且容易堕落。
从反面的代码你可以看出，Sympy让我们只需"翻译"数学表达式，就能得到正确效果，大大简化了代码逻辑。
我们的思绪很简单：

• 已知两个点的坐标，可以求出直线方程
  
• 已知两条直线方程，联立求解得到交点坐标
  

在Python中，用Sympy这个符号盘算库来实现再符合不外了。
2.1. 第一步：界说求直线方程的函数

1. from sympy import Symbol, solve
3. def get_line(p1, p2):
4.     """已知两点，求直线y = kx + b的k和b"""
5.     k = Symbol("k")
6.     b = Symbol("b")
7.    
8.     expr1 = p1[0] * k + b - p1[1]
9.     expr2 = p2[0] * k + b - p2[1]
10.    
11.     ret = solve((expr1, expr2), dict=True)
12.     return {"k": ret[0][k], "b": ret[0][b]}

复制代码

2.2. 第二步：界说求交点的函数

1. def cross_points(l1, l2):
2.     """已知两条直线方程，求交点坐标"""
3.     x = Symbol("x")
4.     y = Symbol("y")
5.    
6.     expr1 = l1["k"] * x + l1["b"] - y
7.     expr2 = l2["k"] * x + l2["b"] - y
8.     ret = solve((expr1, expr2), dict=True)
9.    
10.     return np.array((float(ret[0][x]), float(ret[0][y]), 0))

复制代码

有了这两个函数，我们就可以在Manim中动态更新交点了。
2.3. 完备的Manim动画实现

1. from manim import *
2. import numpy as np
3. from sympy import Symbol, solve
5. class DynamicCrossPoint(Scene):
6.     def construct(self):
7.         # 定义矩形的顶点坐标
8.         points = {
9.             "A": np.array([-2.5, 2, 0]),
10.             "B": np.array([-2.5, -3, 0]),
11.             "C": np.array([2.5, -3, 0]),
12.             "D": np.array([2.5, 2, 0]),
13.         }
14.         
15.         # 初始动点的位置
16.         points["E"] = np.array([-0.52, 2, 0])   # E在AB上
17.         points["F"] = np.array([0.52, 2, 0])    # F在CD上，且AE=CF
18.         
19.         # 画矩形
20.         rectangle = Polygon(
21.             points["A"], points["B"],
22.             points["C"], points["D"],
23.             stroke_width=3, color=GREEN
24.         )
25.         self.play(Create(rectangle))
26.         
27.         # 创建初始的点和线
28.         d_e = Dot(points["E"], radius=0.05, color=BLUE)
29.         d_f = Dot(points["F"], radius=0.05, color=BLUE)
30.         d_h = Dot(points["A"], radius=0.05, color=YELLOW)  # 初始随便放
31.         
32.         l_bf = Line(points["B"], points["E"], color=BLUE, stroke_width=2)
33.         l_ce = Line(points["C"], points["F"], color=BLUE, stroke_width=2)
34.         l_bd = Line(points["B"], points["D"], color=GREEN, stroke_width=2)
35.         
36.         self.play(Create(VGroup(l_bf, l_ce, l_bd, d_e, d_f, d_h)))
37.         
38.         # 核心部分：设置更新器
39.         # F点随着E点移动（保持AE=CF的关系）
40.         d_f.add_updater(
41.             lambda z: z.become(
42.                 Dot(points["D"] - (d_e.get_center() - points["A"]),
43.                     radius=0.05, color=BLUE)
44.             )
45.         )
46.         
47.         # H点是BF和CE的交点
48.         d_h.add_updater(
49.             lambda z: z.become(
50.                 Dot(
51.                     cross_points(
52.                         get_line(points["B"], d_e.get_center()),  # BF
53.                         get_line(points["C"], d_f.get_center()),  # CE
54.                     ),
55.                     radius=0.05, color=YELLOW
56.                 )
57.             )
58.         )
59.         
60.         # 更新线段
61.         l_bf.add_updater(
62.             lambda z: z.become(
63.                 Line(points["B"], d_e.get_center(), color=BLUE, stroke_width=2)
64.             )
65.         )
66.         
67.         l_ce.add_updater(
68.             lambda z: z.become(
69.                 Line(points["C"], d_f.get_center(), color=BLUE, stroke_width=2)
70.             )
71.         )
72.         
73.         # 让E点动起来
74.         self.play(d_e.animate.shift(LEFT * 1.5), run_time=3)
75.         self.play(d_e.animate.shift(RIGHT * 3), run_time=6)
76.         self.play(d_e.animate.shift(LEFT * 1.5), run_time=3)
77.         
78.         # 清理更新器
79.         for mob in [d_f, d_h, l_bf, l_ce]:
80.             mob.clear_updaters()
81.         
82.         self.wait()

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2.4. 为什么不直接用Manim的多少变动？

大概有朋侪会问：Manim不是有.move_to()、.shift()这些方法吗？为什么非要用Sympy算交点？
答案是：当动点之间没有简单的多少变动关系时，比如，在这个例子中，交点的位置是由两条动态直线决定的，没有办法通过简单的位移或旋转得到。
这时，数学盘算就是最直接的方法。
2.5. 进阶思索

上面先容的方法，通用性很强：

• 可以用来求直线与圆的交点
  
• 可以用来求两条曲线的交点
  
• 以致可以用来求动点轨迹的方程
  

只要你能写出方程，Sympy就能帮你解出来。
3. 结语

本日这个例子，我们学会了：

• 用Sympy求解直线交点
  
• 在Manim中动态更新交点
  
• 处置惩罚多个相互关联的动点
  

渴望这篇文章能资助你在制作Manim动画时，更自若地处置惩罚动态多少标题。

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